已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn(n+2)/n ,(n 属于 N*)求(1)数列{Sn/n}是等比数列(2)Sn+1=4an

为了避免混淆， 我把 下角标放在 <>内。

首先从 数列本身的基本意义出发
a<n> = S<n> - S<n-1>

其次 ，从已知a<n+1>=S<n>(n+2)/n 出发
a<n>= S<n-1> * (n+1)/(n-1)

因此
S<n> - S<n-1> = S<n-1> * (n+1)/(n-1)
移项整理
S<n> = S<n-1)*2n/(n-1)
即
S<n>/n = 2* S<n-1>/(n-1)

因此 S<n>/n 是等比数列。公比为2。

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S<1>/1 = a1/1 = 1
因此
S<n>/n = (S<1>/1)*q^(n-1) = 1 * 2^(n-1) = 2^(n-1)
S<n> = n* 2^(n-1)

S<n+1> = (n+1) * 2^n

因为 a<n+1> = S<n+1> - S<n>
所以 a<n+1> = (n+1)*2^n - n*2^(n-1)
将下角标的 n+1替换为n, 将n替换为 (n-1),得到
a<n> = n*2^(n-1) - (n-1) * 2^(n-2)
4a<n> = n*2^(n+1) - (n-1) * 2^n
= 2n * 2^n - (n-1) * 2^n
= (n+1) * 2^n
= S<n+1)
命题得证！